MAKALAH PERMUTASI DAN KOMBINASI

MAKALAH

 

 

DI SUSUN OLEH

DIAN PURNAMASARI

DOSEN PENGAMPUH

HALIMAH TUSAKDIYAH,S.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

STKIP MUHAMMDAIYAH PAGARALAM

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang berjudul Permutasi dan kombinasi, didalam matematika Allhamdulillah selesai tepat pada waktunya.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita, Amin.

                                                                       Pagaralam, 27 November 2016

i

DAFTAR ISI

Kata pengantar………………………………………………………….      i

Daftar Isi………………………………………………………………....     ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang…………………………………………………....     1

1.2   Rumusan Masalah………………………………………………..     1

1.3  Tujuan Penulisan………………………………………………….     1

BAB II PEMBAHASAN

2.1.1 Pengertian Permutasi…………………………………………….     2

   2.1 permutasi.......................................................................................     3

   2.2 jenis-jenis permutasi......................................................................     4

2.1.2 pengertian Kombinasi…………………………………………...     5

   2.3 kombinasi......................................................................................     5

2.1.3 Perbedaan Permutasi dan Kombinasi ..........................................     7

BAB III PENUTUP

3.1   Kesimpulan…..………………………………………………….      9

3.2   Saran……….……………………………………………………      9

DAFTAR PUSTAKA

ii

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1.         LATAR BELAKANG

Dalam materi ini kita akan membahas tentang permutasi dan kombinasi,yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA namun demikian,materi akan diberikan  dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang,tetapi diharapkan pula memberi wawasan yang luas mengenai pendefinisikan permutasi dan kombinasi.untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam modul ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan,serta permutasi dan kombinasi.

1.2.         RUMUSAN MASALAH

Bagaimana menghitung nilai-nilai permutasi dan kombinasi suatu peristiwa tertentu ?

1.3.         TUJUAN PENULISAN

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa di harapkan :

1.     Memahami dan dapat menggunakan permutasi dalam menyelesaikan persoalan terkait.

2.     Memahami dan dapat menggunakan kombinasi dalam menyelesaikan persoalan terkait.

1

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.1.Pengertian Permutasi

pengertian permutasi adalah suatu susunan yang dapat di bentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Permutasi di dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberap aurutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. Kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah:

2.1. PERMUTASI

Definisi :

Suatu permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah penempatan r unsur itu dalam suatu urutan (r  dan dirumuskan.

P_rⁿ =     atau      pⁿ_r  = n (n – 1)(n -2)(n – 3)....(n –r + 1)

 Hal khusus :

Untuk r = n maka, Pⁿ_n (sering ditulis P_n) = n!

                                                2

Contoh soal :

1.     Hitunglah

a.     P⁵₂   

b.      b. P⁷₂

c.      5P⁶₃

Penyelesaian :

a.     P⁵₂ =     5!     = 5!   =  5 x 3 x 2  = 20

    (5 - 2)!     3!            3!           

b.      P⁷₂ =     7!     = 7!    =  7 x 6 x 5  = 42

    (7 - 2)!      5!           5!           

c.      P⁵₂ =  5.   6!     = 5. 6!   = 5 6 x5 x 4 x 3  = 5. 6. 5. 4 = 600

    (6 - 3)!            3!               3!           

Contoh soal bentuk cerita :

2.     Berapa nomor pelat kendaraan yang dapat dibuat dari angka 1,2,3,4 dan 5,apabila tiap nomor terdiri dari 4 angka yang berbeda ?

Penyelesaian :

Banyaknya angka yang disediakan = n = 5

Banyaknya angka tiap nomor = r = 4

P⁵₂ =     5!     = 5. 4. 3. 2. 1 =120

(5 - 2)!     

Jadi, ada 120 nomor pelat yang dapat dibuat.

3

2.3 Jenis – jenis permutasi

ü Permutasi n dan unsur sama

Jika dari n unsur yang tersedia,n₁ unsur yang sama,n₂ unsur lain yang sama,dan n₃ unsur yang lain lagi yang sama, maka banyaknya permutasi yang berlainan dari n unsur itu ditentukan dengan.

Rumus : P =         n!               Dengan n_{1 +} n_{2 +} n₃

    n₁! n₂! n₃!

Contoh soal :

Tentukan permutasi dari kata MATEMATIKA !

Penyelesaian :

 M ada 2 huruf ,T ada 2 huruf dan A ada 3 huruf

P =              10!              =    10.9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1   = 151.200

     2! 2! 3!                    (2.1).(2.1).(3.2.1)

Jadi, ada 151.200 (seratus lima puluh saru ribu dua ratus) susunan huruf berbeda yang dapat disusun.

ü Permutasi siklis

Bila tersedia n unsur yang berbeda,maka banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan.

Rumus : P_siklis = (n – 1)!

ü Permutasi berulang

Bila tersedia n unsur berbeda maka banyak permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan.

Rumus : P_berulang = n^r dengan r

4

2.1.2    Pengertian kombinasi

Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. Didalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

2.4 K0MBINASI

       Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari n unsur tanpa memperhatikan urutannya  

( r  dan ditentukan dengan.

Rumus : Cⁿ_r =     n!     

                        r!(n-r)!

Contoh soal :

a.     Hitunglah setiap kombinasi berikut !

     C⁵₃

     C¹²₄

b.     Dalam sebuah pertemuan yang di hadiri oleh 10 orang,berapa jabat tanagn yang terjadi ?

Penyelesaian :

a.      C⁵₃ =       5!       =    5!      =  5 x 4 x 3!  = 10

              3!(5 - 3)!         3!2!             3!(2.1)           

   

 C¹²₄ =       12!       =       12!      =  12 x 11x 10x 9x 8!  = 495

            4!(12 - 4)!             4!8!                 (4.3.2.1).8!

5

b.     C¹⁰₂ =      10!    =      10!   =  10 x 9x 8!  =45

         2!(10 - 2)!        2!8!           (2.1) 8!       

Contoh Soal 1:

Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantar anya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. Jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain

Pembahasan:

Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:

¹⁶C₁₁ =       16!        =  16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!  

              11!(16-11)!                      11!5!                          

=          524160         =  524160  = 4368

          5x4x3x2x1           120

Contoh Soal 2 :

Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buahpir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak.berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 3 macam buah?

Pembahasan:

diketahui n = 4 dan r = 3, maka:

⁴C3 =       4!        =  4 x 3 x 2 x 1  =      24         =  24  = 4

              3!(4-3)!           3!1!              3 x 2 x 1               6

6

2.1.3  Perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi yaitu

Permutasi adalah cara menyusun suatu unsur pada suatu kejadian atau percobaan yang memperhatikan “urutan” lambang pemutasi pnk atau npk atau p(n,k).

Rumus Permutasi :

Pnk-n!(n-k0!

          Untuk memudahkan dalam mengingat manakah yang memperhatikan” urutan”dan mana yang tidak, yaitu diantara kata permutasi dan kombinasi manakah yang menggunakan huruf “U” (huruf U mewakili kata URUTAN).Ternyata kata permUtasi yang menggunakan huruf U, sehingga). permutasi yang memperhatikan “urutan” Kombinasi hasilnya lebih sedikit dengan permutasi.

Contoh soal-soal perbedaan permutasi dan kombinasi:
1). Ada 5 orang kemudian akan dipilih 3 orang dari 5 orang tersebut. Tentukan banyak cara pemilihan yang mungkin jika :
a). 3 orang tersebut dipilih untuk menjadi pengurus organisasi yaitu ketua, wakil, dan bendahara.
b). 3 orang tersebut dipilih untuk mewakili sebuah tim dalam perlombaan.

Penyelesaian :
*). Ada lima orang, misalkan orang tersebut adalah A, B, C, D, dan E.
*). Akan dipilih 3 orang dari 5 orang tersebut.

7

a). 3 orang tersebut dipilih untuk menjadi pengurus organisasi yaitu ketua,wakil, dan bendahara. Kita akan cek, apakah pada kasus (a) ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK. Misalkan 3 orang yang terpilih adalah A, B, dan D. Susunan kepengurusan dari A, B, dan D yaitu :

Ø susunan I : A menjadi Ketua, B menjadi wakil, dan D menjadi bendahara atau disingkat ABD.

Ø susunan II : B menjadi Ketua, A menjadi wakil, dan D menjadi bendahara atau disingkat BAD.

Ø Susunan I dan susunan II dari kepengurusan dianggap berbeda karena pada susunan I ketuanya A dan susunan II ketuanya B sehingga pasti berbeda, artinya ABD tidak sama dengan BAD (ABD ≠ BAD). Ini artinya URUTAN diperhatikan pada kasus ini, sehingga kita menggunakan PERMUTASI untuk menyelesaikannya.

b). 3 orang tersebut dipilih untuk mewakili sebuah tim dalam perlombaan.
Kita akan cek, apakah pada kasus (b) ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK. Misalkan 3 orang yang terpilih adalah A, B, dan D. Maka urutan terpilihnya yaitu : ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA.

v Bentuk I : ABD artinya yang terpilih adalah A, B, dan D.

v Bentuk II : ADB artinya yang terpilih adalah A, D, dan B. Karena  hanya sebagai sebuah tim, maka bentuk ABD dan ADB sama saja yaitu yang terpilih A,B, dan D sebagai sebuah tim. Ini artinya URUTAN tidak diperhatikan ( ABD sama saja dengan ADB ), sehingga kasus (b) ini adalah kasus KOMBINASI yang tidak memperhatikan urutan.

                                                                              8

BAB III

PENUTUP

3.1. KESIMPULAN

       Dari materi permutasi kita bisa menentukan banyak cara pengambilan data. Misalkan pengambilan banyak cara posisi duduk melingkar saat suatu anggota berkumpul pada sebuah meja bundar. Dengan permutasi kita dapat menghitung kemungkinan banyaknya posisi duduk satu keluarga terseut.

Selain itu,kita juga dapat menghitung banyak susunan huruf maupun angka dengan cara yang tepat yaitu dengan menggunakan permutasi.

      Pada materi kombinasi inti pengertiannya adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA jadi,dalam menggunakan kombinasi kita dapat menyimpulkan banyak cara pemilihan satu kejadian dengan cara yang ditentukan. Misalkan dari 5 siswa akan dibentuk pengurus osis yang terdiri dari ketua,wakil ketua,bendahara,sekertaris dengan rumus kombinasi kita dapat menentukan banyak cara pemilihan tersebut.

3.2. SARAN

   Demikianlah makalah yang dapat kami buat,sebagai manusia biasa kita menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat knstruktif sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.amin.

9

DAFTAR PUSAKA